Fundamentos del cálculo
Resumen visual del vocabulario y las fórmulas de los fundamentos del cálculo: funciones, familias, álgebra y trigonometría.
01 · Definición
¿Qué es una función?
Una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. Esa frase encierra dos requisitos que deben cumplirse a la vez.
La misma entrada produce siempre la misma salida. Una máquina que devuelve
A cada entrada le corresponde una sola salida, nunca varias a la vez.
02 · Anatomía
Regla, dominio, codominio.
La fórmula sola no determina una función. Cambia
| Función | Inyectiva | Suprayectiva | Biyectiva |
|---|---|---|---|
| No | No | No | |
| No | Sí | No | |
| Sí | No | No | |
| Sí | Sí | Sí |
Apretar el dominio influye en la inyectividad; apretar el codominio influye en la suprayectividad. Cada eje se controla por separado.
03 · Clasificación
Inyectiva, suprayectiva, biyectiva.
Entradas distintas dan salidas distintas.
Todo elemento del codominio es imagen de alguna entrada.
Inyectiva y suprayectiva a la vez. Es la condición exacta para tener inversa.
Las dos propiedades son independientes: cada una puede cumplirse o fallar sin obligar a la otra.
04 · Inversa
Cuándo
Una función
Cada
Cada
Esta forma algebraica es la que generaliza a otras estructuras: la inversa es el elemento cuya composición es la identidad.
05 · Restricción
Forzar la invertibilidad.
La técnica estándar para recuperar una inversa: restringir el dominio a un intervalo de monotonía estricta, cerrado en los puntos donde se alcanzan los extremos.
Alcanza
06 · Composición
Componer funciones.
En general
07 · Catálogo
Las siete familias.
Antes del recorrido familia a familia, tres preguntas de triaje reducen drásticamente el espacio de búsqueda.
¿Hay asíntotas?
Sí → racional, exponencial, logarítmica o tangente.
No → polinómica, seno/coseno, valor absoluto o a trozos.
¿Está acotada?
Sí → seno o coseno (las únicas que oscilan entre dos cotas fijas).
No → todas las demás.
¿Es suave en todo punto?
Sí → polinómica, racional, exponencial, logarítmica, sen/cos o tangente.
No → valor absoluto o a trozos (el punto de empalme delata).
Polinómica
Sin asíntotas, no acotada, suave. El grado se lee jointly: número de extremos locales (a lo sumo
Racional
Asíntotas verticales en las raíces de
Exponencial
Una rama dispara, la otra se aplana sobre una asíntota horizontal
Logarítmica
Asíntota vertical en
Trigonométrica
Seno y coseno: oscilación suave y acotada entre dos niveles. Amplitud
Valor absoluto
Una V (invertida si
A trozos
Distintas reglas en distintos intervalos. En el empalme hay tres síntomas: esquina (mismo valor, distinta pendiente), salto (hueco vertical) o removible (un punto suelto fuera de la curva).
08 · Álgebra
Álgebra esencial.
Cuatro identidades que aparecen una y otra vez en cálculo, sobre todo simplificando integrales.
Cuadrado de un binomio
Diferencia de cuadrados
Radical y valor absoluto
Identidad pitagórica
Para
Para
09 · Trigonometría
El círculo unitario.
La trigonometría no trata, en el fondo, de triángulos: trata de un punto que gira en el círculo de radio
Pitagórica
Ángulos complementarios
Negativos · paridad
Suplementarios
Suma y diferencia
Ángulo doble