Integración de una variable

La derivada mide ritmo de cambio. La integral es su espejo: mide cantidad acumulada. La pregunta arquetípica es «¿qué área hay bajo la curva entre y ?», pero el mismo mecanismo calcula distancia total desde la velocidad, carga total desde la corriente o coste total desde el coste marginal.

El primer paso para domar la acumulación es discretizarla: una partición trocea en piezas pequeñas donde el área se aproxima por rectángulos.

Sobre cada subintervalo, sustituye la curva por dos rectángulos: uno tan alto como el mínimo de ahí (queda por debajo de la curva) y otro tan alto como el máximo (queda por encima). La suma de las áreas son las dos sumas de Darboux.

Añadir puntos a una partición convierte en un refinamiento . En los subintervalos más pequeños el ínfimo solo puede subir y el supremo solo puede bajar.

Cuando los dos extremos del sándwich coinciden, ese valor común es la integral. Es la definición canónica de integrabilidad en sentido de Riemann.

Una suma de Riemann elige un punto cualquiera en cada subintervalo y suma . No usa ínfimo ni supremo: usa el valor que sea en ese punto de muestra.

La definición es delicada — no toda función acotada es Riemann-integrable. Pero dos condiciones suficientes cubren todo lo que aparece en la práctica.

El ejemplo clásico que no es integrable, y la motivación histórica para inventar otra teoría de integración.

Cuando , la integral es el área bajo el gráfico. Cuando se hunde por debajo del eje, esas contribuciones entran con signo menos.

Tres propiedades que se usan continuamente al manipular integrales y que se demuestran directamente desde las sumas de Riemann.

El teorema fundamental del cálculo tiene dos caras. La forma constructiva dice que integrar con un límite variable construye una primitiva: la función «área acumulada» tiene como derivada al integrando.

La prueba se reduce a aplicar la definición de derivada a y reconocer una media. Solo necesita aditividad de la integral y continuidad de .

La forma constructiva tiene una consecuencia llamativa: existencia es independiente de fórmula cerrada. Una función continua siempre tiene primitiva, aunque ningún arreglo finito de funciones elementales pueda escribirla.

Si una primitiva no se puede escribir, se la nombra como integral. Así entran al vocabulario varias funciones especiales — y sus derivadas son inmediatas por el teorema fundamental del cálculo constructivo.

Bisagra entre las dos formas del teorema fundamental del cálculo. Garantiza que cualquier primitiva sirve a la hora de evaluar.

La segunda cara del teorema fundamental del cálculo es la que se usa para calcular: encontrada una primitiva, basta restar sus valores en los extremos.

La forma evaluativa admite dos demostraciones — una corta que reutiliza la constructiva, y otra clásica e independiente que solo necesita el teorema del valor medio de Lagrange y la integrabilidad de las funciones continuas.

La forma evaluativa convierte la integración de un problema de límites en un problema de búsqueda. Ese cambio de paradigma es lo que da forma a todo el cálculo integral que sigue.

Las dos caras del teorema fundamental del cálculo, leídas juntas, dicen que sobre funciones continuas las operaciones «integrar con un extremo variable» y «derivar» son mutuamente inversas, salvo una constante aditiva.

La sustitución es la regla de la cadena leída al revés como regla de integración, igual que la integración por partes es la regla del producto leída al revés.

Calcular . Sin sustitución haría falta desarrollar — un polinomio de 15 términos — y antiderivar uno por uno.

Leyendo la regla del producto como una identidad de integración, mover la derivada de a trueca una integral que no sabemos hacer por otra que sí.