Límites y derivadas

Resumen visual de límites, derivadas y la regla de L'Hôpital: definición épsilon-delta, teorema del emparedado y derivada como pendiente.

27 de mayo de 2026 Matemáticas Cálculo Infografía

01 · Definición

Límites: la idea de «acercarse».

Cuando escribimos decimos: «a medida que se acerca a , se acerca a ». La palabra clave es acercarse: nunca tiene que alcanzar , ni tiene que existir.

Definición formal (

)

02 · ε y δ

Precisión y proximidad.

— precisión deseada

Cuán cerca queremos que esté de . Es la exigencia que planteamos.

— proximidad requerida

Cuán cerca debe estar de para cumplir la exigencia. Es la respuesta que encontramos.

El orden importa

«Para todo existe » — el que elegimos puede depender de , pero el límite debe funcionar para todo . No podemos elegir un fijo que sirva para algunas tolerancias pero no para otras.

Ejemplo:

03 · Laterales

Por derecha e izquierda.

Límites laterales

por la derecha (valores mayores); por la izquierda (valores menores). El límite bilateral existe si y solo si ambos laterales existen y son iguales.

04 · Indeterminación

Formas indeterminadas.

Formas indeterminadas

«Indeterminado» no significa «no existe» — significa que hace falta más análisis.

Propiedades algebraicas (con límites finitos)

El peligro

Estas reglas fallan ante formas indeterminadas. Ahí necesitamos otras herramientas: álgebra, el teorema del emparedado o L’Hôpital. La utilidad de las reglas es justamente detectar cuándo no podemos aplicarlas.

05 · Emparedado

Teorema del emparedado.

Si está atrapada entre dos funciones que convergen al mismo límite, no tiene más remedio que converger también a ese límite.

Enunciado (Squeeze / Sandwich)

cerca de

Ejemplo clásico:

Para se cumple . Como y la constante , el emparedado fuerza . Este límite fundamental aparece constantemente en cálculo y es la primera vez que resolvemos una indeterminación sin álgebra.

Visualmente

Tres curvas: por debajo, la constante por arriba, y apretada entre ambas. Al acercarse a , el espacio entre y se reduce a cero, y la función del medio no tiene espacio para escapar.

Cuándo usarlo

El emparedado funciona cuando una función difícil de evaluar directamente está acotada por dos funciones más simples que comparten el mismo límite. Es especialmente útil para límites trigonométricos y funciones oscilantes acotadas.

06 · Continuidad

Cuando el límite y el valor coinciden.

La continuidad cierra el círculo entre límites y evaluaciones directas, y nos da una propiedad clave: podemos meter el límite dentro de una función continua.

Definición

es continua en

Tres condiciones que deben cumplirse a la vez

1. está definida.
2. existe.
3. Ambos valores coinciden. Si falla cualquiera, hay una discontinuidad.

Discontinuidad evitable

El límite existe pero es distinto o no está definido. Gráficamente: un hueco en la curva.

Discontinuidad de salto

Los límites laterales existen pero son distintos. Ejemplo: la función escalón.

Discontinuidad infinita

La función crece sin cota cerca de . Gráficamente: una asíntota vertical.

07 · Composición

Meter el límite dentro de la función.

Continuidad de la composición

es continua en

, entonces:

Por qué funciona

nos acerca arbitrariamente a ; como es continua en , puntos cerca de producen valores cerca de . Encadenando: cerca de implica cerca de .

Ejemplo

, porque y es continua en .

08 · Consecuencia

Derivable ⟹ continua.

Derivabilidad implica continuidad (el recíproco no)

Si existe, entonces es continua en . El recíproco es falso: en es continua pero no derivable (tiene una esquina, no una tangente única).

09 · Tangente

Pendiente instantánea.

En un punto de una curva suave hay una única recta que «apenas toca» la curva: la recta tangente. Su pendiente mide la inclinación instantánea de la curva.

Tangente = pendiente = ángulo

Si la recta tangente forma un ángulo con la horizontal, su pendiente es exactamente . La razón: en el triángulo rectángulo que forma la tangente, .

Pendiente como ángulo

(plano)
(sube 1:1)
(baja 1:1)
(vertical, sin derivada)

10 · Derivada

La definición formal.

Definición formal

es creciente en — la tangente apunta hacia arriba.

es decreciente en — la tangente apunta hacia abajo.

es estacionaria en — la tangente es horizontal.

Notación

(Lagrange)

(Leibniz)

(operador)

11 · L’Hôpital

Comparar velocidades.

Una herramienta que resuelve las indeterminaciones y comparando las velocidades del numerador y el denominador mediante sus derivadas.

Regla

, y

son derivables cerca de

, entonces

Intuición: dos funciones compitiendo

Piensa en y como dos corredores hacia el cero (o el infinito). La derivada mide su velocidad instantánea. Comparar nos dice quién llega primero. Si sigue siendo indeterminado, aplicamos L’Hôpital otra vez.

Interpretación geométrica

Como y , el cociente es una razón de dos alturas sobre la misma vertical . Si esa razón es , la tangente del numerador es tres veces más inclinada que la del denominador.

12 · Precauciones

Ejemplos y advertencias.

Ejemplo 1 —

Ejemplo 2 —

(doble aplicación)

Precauciones

Solo sirve para o — otras formas indeterminadas (, , , ) deben reescribirse primero. Requiere derivabilidad en un entorno de . Si no existe, L’Hôpital no da información.

13 · Fermat

Extremos locales.

Cuatro teoremas que se encajan como una escalera. Cada uno da un paso más allá del anterior, y juntos justifican la regla de L’Hôpital con todo rigor.

Regla de Fermat

extremo local en

existe

Interpretación

En un máximo o mínimo interior, la tangente debe ser horizontal. La demostración usa cocientes incrementales por la derecha () y por la izquierda () que fuerzan . Es el único paso con contenido analítico real; todo lo demás construye sobre él.

14 · Rolle

De Fermat a Lagrange.

Teorema de Rolle

continua en

, derivable en

Interpretación

Si una curva suave empieza y termina a la misma altura, en algún punto intermedio la tangente es horizontal. Se deduce de Fermat + teorema del valor extremo: el máximo y el mínimo o están en el interior (Fermat) o la función es constante.

15 · Lagrange

Teorema del valor medio.

Teorema de Lagrange (TVM)

Interpretación

La pendiente de la secante entre los extremos se alcanza como pendiente instantánea en algún punto interior. La demostración resta la recta secante de para construir una función auxiliar que cumple Rolle y revela que iguala la pendiente de la secante.

16 · Cauchy

Generalización paramétrica.

Cauchy (TVM generalizado)

Interpretación

Generaliza Lagrange a dos funciones. Geométricamente: piensa en como una curva paramétrica; en algún punto la dirección tangente es paralela a la cuerda. Se demuestra con una función auxiliar que combina y de forma que los términos cruzados se cancelan en los extremos.

17 · Demostración

Cerrando el círculo.

De Cauchy a L’Hôpital

, Cauchy en

para algún

entre

Cuando

el punto

también se acerca a

y obtenemos L’Hôpital:

Corolario — signo de la derivada

Si en todo un intervalo, entonces es estrictamente creciente en ese intervalo (por Lagrange: ). La propiedad es de intervalo, no puntual: un solo no basta para garantizar crecimiento en un entorno.